Acionador baseado em tempo do MySQL

• Use um delimitador conforme explicado em Definindo armazenado Programas
• não deve haver S no final de DAY em ON SCHEDULE EVERY 15 DAY conforme explicado em CREATE EVENT Syntax
• A documentação diz "Assim como nas rotinas armazenadas, você pode usar a sintaxe de instrução composta na cláusula DO usando as palavras-chave BEGIN e END", portanto, um BEGIN palavra-chave deve ser adicionada após o primeiro DO
• cada instrução deve ser separada por ponto e vírgula
• WHILE Syntax diz que o código deve ser colocado entre WHILE search_condition DO e END WHILE
• no seu INSERT , day é um campo:coloque-o entre acentos graves, não entre aspas

DELIMITER $$$
CREATE EVENT autoDayInsert ON SCHEDULE EVERY 15 DAY DO BEGIN
    SET @dayCounter = 0;
    WHILE @dayCounter < 15 DO
        INSERT INTO appointmentDays(`day`) VALUES(NOW() + INTERVAL @dayCounter DAY);
        SET @dayCounter = @dayCounter +1;
    END WHILE;
END $$$
DELIMITER ;