você precisa mover sua tag de formulário entre o loop foreach para que ela possa enviar os dados de uma única linha. algo assim
<?php foreach($link_data as $row) : ?>
<form action='<?= site_url("admin/do_edit_page"); ?>' method='POST'>
Link:<br />
<input type='text' name='page_link_title' value='<?= $row->link_title; ?>'>
<input type='text' name='page_link_sub_title' value='<?= $row->link; ?>'><br />
<input type='submit' name='update_site' value='Update'>
</form>
<?php endforeach; ?>
