Qual é a melhor maneira de inserir apenas mês, dia e hora na tabela do banco de dados?

Você pode usar algo como separar a data e hora:

$today = date("Y-m-d h:i:sa");
$dateTimeParts = explode(" ", $today);

//first separate date and time:
$date = $dateTimeParts[0];
$time = $dateTimeParts[1];

//separate date's year, month and day
$dateParts = explode("-",$date);


echo "Monthe and day: ".$dateParts[1]. "-" . $dateParts[2]."\n";
echo "Time: ".$time;

Então você pode armazenar o valor de data inteiro (para referência) e as partes como dateDay, dateMonth e dateTime, por exemplo. Ou você pode implodir todas as peças e armazenar apenas uma coluna:

$newDate = [];
array_push($newDate, $dateParts[1]); //month
array_push($newDate, $dateParts[2]); //year
array_push($newDate, $time);
$relevantDateParts = implode(" ", $newDate);