DATE_FORMAT() retorna uma string, não uma data. Passando 3 argumentos de string para BETWEEN ... quem sabe o que isso vai retornar. Para destravar seu código, use:
$week_start = date('Y-m-d',time()+( 1 - date('w'))*24*3600);
$week_end = date('Y-m-d',time()+( 7 - date('w'))*24*3600);
para formatar suas datas da maneira que o mySQL espera e:
WHERE
start_date BETWEEN '".$week_start."' AND '".$week_end."'
na consulta.
Ou se você preferir uma abordagem orientada a objetos, faça algo assim:
$week_start = new DateTime;
$week_end = new DateTime;
$week_start->setTimestamp(time()+( 1 - date('w'))*24*3600));
$week_end->setTimestamp(time()+( 7 - date('w'))*24*3600);
Então na sua consulta faça:
WHERE
start_date
BETWEEN '".$week_start->format('Y-m-d')."'
AND '".$week_end->format('Y-m-d')."'
Então, para todo o resto, você pode ecoar o formato como desejar:
echo $date->format('d-m-Y'); // etc
