Como atualizar uma coluna MySQL com base em uma entrada de caixa de seleção

Alguns problemas que encontrei em suas consultas

este

SELECT * FROM announce WHERE id == $ids

Deveria estar

SELECT * FROM announce WHERE id = '$ids'

E isto

UPDATE announce SET approv = 'approved'WHERE id == $idan

Deveria estar

UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$idan'

Sua caixa de seleção também não tem um atributo de valor

<input type="checkbox" name="approv[]" value="<echo your table row id here>" />

Então use

foreach($_POST['approv'] as $apprValue)
{
    mysql_query(UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$apprValue');
}

Em uma nota completamente lateral, por favor, não use mais funções mysql_*. Eles serão preteridos em breve. Melhor ir para mysqli ou PDO