O caminho obrigatório é sempre relativo à lista de diretórios definida na configuração do arquivo ini include_path. Portanto, você normalmente não terminaria com um caminho completo, mas sim um caminho relativo do valor include_path. Observe que você pode definir a configuração include_path no PHP a partir do arquivo httpd.conf se desejar de forma semelhante ao que você fez com a configuração php_flag em seu exemplo.
Mal consigo ler sua captura de tela, mas acho que a resposta de alimentação com colher é:
adicione esta linha à sua configuração do apache:
php_value "include_path" "/Users/ratthijs/Desktop/PushChatServer/api"
E então você poderia simplesmente dizer:
require_once('api.php');
