Como copiar a tabela de uma tabela no servidor remoto para a tabela em um banco de dados remoto diferente mysql5.6 com PDO

Você pode abrir duas conexões. Use um para ler do servidor de origem, os outros dois inserem no servidor de destino. Use o ON DUPLICATE KEY IGNORE opção para evitar erros ao tentar substituir as linhas existentes, para que ele insira apenas as linhas ausentes.

$pdo1 = new PDO('mysql:host=server1;dbname=xxx', $username1, $password1);
$pdo2 = new PDO('mysql:host=servrer2; dbname=xxx', $username2, $password2);

$insert_stmt = $pdo2->prepare("INSERT INTO yourTable (col1, col2, col3, ...) VALUES (:col1, :col2, :col3, ...) ON DUPLICATE KEY IGNORE");
$select_results = $pdo1->query("SELECT * FROM yourTable");
while ($row = $select_results->fetch(PDO::FETCH_ASSOC)) {
    $insert_stmt->execute($row);
}