Excluir da tabela usando a coluna de outra tabela

Você pode evitar a tabela temporária e o loopin mysql, você pode excluir as duas tabelas em uma única consulta e usar uma consulta solar para os dados temporários

   DELETE t1, t2
   FROM AppCoverLetter t1
   INNER JOIN (
     SELECT AppId 
     FROM ApplyData.AppFormData 
     where lower(Email) = lower(_email_)
   ) t3 ON t1.AppID = t3.AppId
   INNER JOIN AppError t2 ON t2.AppID = t3.AppId;

ou se você tiver mais mesa

   DELETE t1, t2, tx
   FROM AppCoverLetter t1
   INNER JOIN (
     SELECT AppId 
     FROM ApplyData.AppFormData 
     where lower(Email) = lower(_email_)
   ) t3 ON t1.AppID = t3.AppId
   INNER JOIN AppError t2 ON t2.AppID = t3.AppId
   INNER JOIN table3 tx ON tx.AppID = t3.AppId;