A maneira mais direta seria apenas conectar o servidor e ver se ele é bem-sucedido.
MySQL:
Connection connection = null;
try {
connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
// Succes!
} catch (SQLException e) {
// Fail!
} finally {
if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}
Tomcat:
try {
new URL(url).openConnection().connect();
// Succes!
} catch (IOException e) {
// Fail!
}
Se você quiser um status um pouco mais específico, por exemplo. verificando se uma determinada tabela de banco de dados está disponível ou um recurso de webapp específico está disponível, você deve disparar um
SELECT mais específico declaração ou solicitação HTTP, respectivamente. 
