Como atualizar uma tabela de um servidor para outro?

Você deve configurar a replicação do MySQL (mestre/escravo) e executar as consultas apenas no banco de dados mestre. Consulte a documentação:http://dev.mysql.com/ doc/refman/5.1/en/replication-howto.html

Para apenas 1 consulta, substitua a linha:

mysqli_query($db_connect2,"UPDATE ipserver SET ipsserver = ($db_connect1,"SELECT ipsserver FROM ipserver WHERE idserver = '11'") WHERE idserver = '11'");

com este código:

$result = mysqli_query(
  $db_connect1,
  "SELECT ipsserver FROM ipserver WHERE idserver='11'"
);

while ($row=$result->fetch_assoc()) {
  $ipsserver = $row["ipsserver"];

  mysqli_query(
    $db_connect2,
    "UPDATE ipserver SET ipsserver='$ipsserver' WHERE idserver='11'"
  );
}