Você não pode atribuir uma instrução echo a uma variável.
Mude isso:
$approveremail = echo $result['e_mail'];
Para isso:
$approveremail = $result['e_mail'];
echo $approveremail;
Ou ainda:
echo $result['e_mail'];
Além disso, considere usar mysqli ou PDO em vez de funções mysql_. A função mysql_ está obsoleta e não é mais suportada no PHP 7.0 e superior.
Dê uma olhada nesta páginahttps://www.php .net/manual/en/function.mysql-fetch-array.php
Você precisa executar a consulta e, em seguida, buscar o resultado
$emailaddress = "SELECT e_mail FROM frm_change_approver WHERE user_id = '$approvingmanagername'";
$result = mysql_query($emailaddress);
$row = mysql_fetch_array($result, MYSQL_ASSOC);
$approveremail = $row['e_mail'];
Além disso, considere usar mysql_real_escape_string() para limpar suas entradas https://www.php.net/manual/en/function.mysql-real-escape-string.php
