Como posso usar $ _get com a função build_categories

Para cada categoria, você está exibindo duas opções, uma opção vazia e outra com as informações da categoria:

$category_string .= '<option value=""></option><option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';

Isso está dentro do seu loop. Assim, toda vez que seu loop iterar, dois opções serão criadas. Um em branco e outro com sua categoria. Aposto que você só precisa de um opção em branco no início do <select> . Acho que era isso que você queria:

// notice we are initializing $category_string with an empty option here
$category_string = '<option value=""></option>';

function build_categories_options($parent, $categories, $level) {
    global $category_string;
    if (isset($categories[$parent]) && count($categories[$parent])) {
        $level .= " - ";
        foreach ($categories[$parent] as $category) {
            $opt_value = substr($level.$category['catname'],3);

            // removed extra empty category and put it in $category_string initialization
            $category_string .= '<option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';
            build_categories_options($category['catid'], $categories, $level);
        }
        $level = substr($level, -3);
    }
    return $category_string;
}

Além disso, como @MoeTsao mencionou nos comentários, tente evitar usar mysql_* funções, pois seu uso é desencorajado pelo PHP. Em vez disso, use mysqli_* ou PDO .

Como posso usar $ _get com a função build_categories_options