Conectar-se ao banco de dados com a classe PHP não está funcionando ao tentar recuperar resultados

Como o Comando::Executar não é estático, mas declarado como public function... , você terá que fazer algo como:

$comando = new Comando();

$queryMesasAtivas = $comando->Executar('SELECT * FROM mesas WHERE status =1 AND numero !="'.$_SESSION["mesa"].'"');

if ($queryMesasAtivas->num_rows > 0) {

    while ($rowMesasAtivas = $queryMesasAtivas->fetch_assoc()) {
        echo "<option value='".$rowMesasAtivas['numero']."'>Mesa ".$rowMesasAtivas['numero']."</option>";
    }
}
else {
    echo '<option>Nenhuma mesa ativa</option>';
}

Ou declare o método como estático, a saber:

public static function Executar($sql)
{
    $con = new Conexao();
    $con->Abrir();
    $re = $con->mysqli->query($sql);
    $con->Fechar();
    return $re;
}

E então você pode usar os dois pontos duplos (:: ) sintaxe:

$queryMesasAtivas = Comando::Executar('SELECT * FROM mesas WHERE status =1 AND numero !="'.$_SESSION["mesa"].'"');

Eu sugeriria não chamando um open e close toda vez que você executa uma consulta, mas sim uma classe como esta:

class Conexao
{
    private $link;

    public function __construct($host = null, $username = null, $password = null, $dbName = null)
    {
        $this->link = mysqli_init();
        $this->link->real_connect($host, $username, $password, $dbName) or die("Failed to connect");
    }

    public function __destruct()
    {
        $this->link->close();
    }

    public function Query($sql)
    {
        return $this->link->query($sql);
    }
}

Isso é então usado como tal:

$conexao = new Conexao("host", "username", "password", "db_name");
$result = $conexao->Query("SELECT * FROM `table` WHERE 1 ORDER BY `id` ASC;");

Isso não é apenas menor, mas mais leve no servidor porque você não está abrindo e fechando permanentemente as conexões de banco de dados, reduzindo o uso da CPU e da memória.

Usando propriedades estáticas para o host etc. (mantém-nas na memória mesmo após __destruct é usado para que você não precise redeclará-los todas as vezes):

class Conexao
{
    private $link;
    private static $host, $username, $password, $dbName;

    public function __construct($host = null, $username = null, $password = null, $dbName = null)
    {
        static::$host = $host ? $host : static::$host;
        static::$username = $username ? $username : static::$username;
        static::$password = $password ? $password : sattic::$password;
        static::$dbName = $dbName : $dbName : static::$dbName;
        $this->link = mysqli_init();
        $this->link->real_connect(static::$host, static::$username, static::$password, static::$dbName) or die("Failed to connect");
    }

    public function __destruct()
    {
        $this->link->close();
    }

    public function Query($sql)
    {
        return $this->link->query($sql);
    }
}

$conexao = new Conexao("host", "username", "password", "db_name");
$result = $conexao->Query("SELECT * FROM `table` WHERE 1 ORDER BY `id` ASC;");

$conexao->__destruct(); // Destroy the class
$conexao = new Conexao(); // Reinitialise it
$result = $conexao->Query("SELECT * FROM `table` WHERE 1 ORDER BY `id` ASC;");

Usando uma instância de configuração da classe de conexão:

arquivo config.php:

<?php

require_once 'path/to/Conexao.php';
$conexao = new Conexao("host", "username", "password", "db_name");

?>

arquivo index.php:

<?php

require_once 'config.php';
$result = $conexao->Query("SELECT * FROM `table` WHERE 1 ORDER BY `id` ASC;");

?>

A classe agora tem um pai em meu github !