Suspiro... A solução estava bem na minha cara. Eu precisava conceder os IPs do Google App Server. Tenho certeza de que você pode adicionar mais código para se conectar por ssh e é mais seguro, mas tudo bem por enquanto.

Aqui estão os intervalos de endereços IP:

216.239.32.0 - 216.239.63.25564.233.160.0 - 64.233.191.25566.249.80.0 - 66.249.95.25572.14.192.0 - 72.14.255.255209.85.128.0 - 209.85.255.25566.102.0.0 - 66.102.15.25574.125.0. 0 - 74.125.255.25564.18.0.0 - 64.18.15.255207.126.144.0 - 207.126.159.255173.194.0.0 - 173.194.255.255

https://developers.google.com/apps-script/jdbc#accessing_local_databases