Como converter mysql para mysqli?

você pode tentar criando um objeto mysqli como descrito aqui:http:// www.php.net/manual/en/class.mysqli.php

ou simplesmente assim:

$db = new mysqli($hostname, $username, $password, $database);

e, em seguida, consulte-o assim:

$result = $db->query('SQL HERE');

no seu caso o código para mysqli ficaria assim

$db = new mysqli("localhost","root","","searchengine");

$result = $db->query(sprintf(
  "SELECT * FROM searchengine WHERE pagecontent LIKE '%s' LIMIT 0,%d",
  '%'. mysqli_real_escape_string($_GET['term']) .'%',
  $_GET['results'])
);

while($ser = mysqli_fetch_array($result)) {
    echo "<h2><a href='$ser[pageurl]'>$ser[pageurl]</a></h2>";
}