MySQL - Como excluir da tabela quando a seleção aninhada usa essa tabela?

Você provavelmente está recebendo este erro:

ERROR 1093 (HY000): You can't specify target table 'table_1' for update in FROM clause.

Você deve ser capaz de fazer isso usando a tabela múltipla do MySQL DELETE sintaxe em vez disso:

DELETE table_1.*
FROM   table_1,
       table_2,
       table_3
WHERE  table_1.id = table_2.table_1_id
AND    table_2.id = table_3.table_2_id
AND    table_3.id = 5

A consulta acima deve funcionar, mas como regra geral eu recomendaria usar a sintaxe ANSI JOIN:

DELETE table_1.*
FROM   table_1
INNER JOIN table_2 on table_2.table_1_id = table_1.id
INNER JOIN table_3 on table_3.table_2_id = table_2.id
WHERE table_3.id = 5