DISTINCT retornará apenas linhas distintas, então:
Ambas as colunas
Você também pode alternar para GROUP BY.
SELECT `state`, `state_name` FROM `geo` group by 'state', 'state_name' ORDER BY `state_name` ASC
SELECT `state`, `state_name` FROM `geo` group by 'state', 'state_name' ORDER BY `state_name` ASC