Você pode obter o primeiro dia do mês, calculando o último_dia do mês anterior e adicionando um dia. É estranho, mas acho melhor do que formatar uma data como string e usar isso para cálculo.
select
*
from
yourtable t
where
/* Greater or equal to the start of last month */
t.date >= DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 2 MONTH)), INTERVAL 1 DAY) and
/* Smaller or equal than one month ago */
t.date <= DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 1 MONTH)