Como acessar a conexão mysqli em outra classe em outra página?

Sua DBConnection class precisaria de um método adicional:

public function getLink()
{
    return $this->mysqli;
}

Parece que seu User original class era uma subclasse de DBConnection , porque mysqli propriedade em DBConnection está protected e User classe tem um parent::__construct() ligar.

É melhor usar injeção de dependência, então seu User class receberá sua conexão com o banco de dados através do construtor:

public function __construct(DBConnection $db)
{
    $this->mysqli = $db->getLink();
}

Então, a partir do seu código, você pode executar:

$db = new DBConnection;
$uObj = new User($db);