Parece não haver como obter a data final e inicial do sprint via Jira SOAP/REST API .

Você pode extrair as datas de início e término de seus sprints usando:com.pyxis.greenhopper.jira.configurations.ProjectConfiguration#getVersionStartDate com.pyxis.greenhopper.jira.configurations.ProjectConfiguration#getVersionEndDate

Para usar esta classe, você pode escrever um plug-in do Jira - Desenvolvendo com o SDK de plug-in da Atlassian

Outra opção é escrever o módulo GreenHopper - GreenHopper Developer Documentation