mysql_fetch_array pulando a primeira linha

Você está chamando mysql_fetch_array duas vezes... uma antes do loop e uma vez durante o loop.

Se você precisar de uma linha de semente para usar na construção de sua linha de cabeçalho, pode ser melhor servido com um loop do.. while aqui.

$query = "SELECT * FROM members";
$results = mysql_query($query);
$row = mysql_fetch_assoc($results);

//echo my <table> start and headings;

do  
{
    echo "<tr><td>".$row['Last Name']."</td>";
    echo "<td>".$row['First Name']."</td>";
    echo "<td>".$row['Middle Name']."</td>";
    echo "<td>".$row['Sfx']."</td>";
    echo "<td>".$row['Prf']."</td>";
    echo "<td>".$row['Spouse/SO']."</td>";
    echo "<td>".$row['Ancestor']."</td>";
    echo "<td>".$row['Status']."</td>";
    echo "<td>".$row['Address 1']."</td>";
    echo "<td>".$row['Address 2']."</td>";
    echo "<td>".$row['City']."</td>";
    echo "<td>".$row['ST']."</td>";
    echo "<td>".$row['Zip 5']."</td>";
    echo "<td>".$row['Zip 4']."</td>";
    echo "<td>".$row['Home Phone']."</td>";
    echo '<td><a href="mywebsite/mypage.php?id=' . $row['id'] . '">Bio</a></td></tr>';
} while ($row = mysql_fetch_assoc($results));

echo "</table><hr>";