Idealmente, sua consulta mongoDB deve ser assim:-
db.yourCollection.find({"startDate": {$lt: endDate}})
que pode ser escrito em Java assim:-
BasicDBObject query = new BasicDBObject("startDate", new BasicDBObject("$lt", endDate);
DBCursor cursor = coll.find(query);
Você pode dar uma olhada no Tutorial oficial
Se você quiser usar o QueryBuilder , você pode fazer assim:-
DBObject query = QueryBuilder.start("startDate").lessThan("endDate").get();
DBCursor cursor = coll.find(query);