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Como faço para retornar um agregado de submatrizes com um filtro na matriz superior?


Você pode tentar a agregação abaixo:
ChoreChart.aggregate([
    { "$match": { "affiliation": affiliation, "year": week.year, "weekNumber": week.number } },
    {
        $addFields: {
            chart: {
                $filter: {
                    input: "$chart",
                    cond: { $eq: [ "$$this.ordinal", 2 ] }
                }
            }
        }
    }
])

$addFields substitui o campo existente e $filter filtra a matriz interna. Além disso, já que seu ordinal é um número, você também precisa especificar o número e não a string em sua consulta.