Acho que você precisará fazer duas consultas separadas aqui. Isso é muito condicional para o analisador de consultas do MongoDB manipular.
Portanto, você precisará colocar sua lógica em duas consultas separadas, com a segunda parecendo:
$db->akis->update(
array("h" => (string) $_SESSION["_id"], "m" => array('$exists' => true)),
array('$set' => array("i" => $name)),
array("multiple" => true)
);
Correndo um atrás do outro.
