A maneira mais simples é usar
$expr
primeiro disponível em 3.6 assim:{$match:{$expr:{$eq:[
“$second”,
{$substr:{
“$first”,
0,
{$strLenCP:”$second”}
}}
]}}}
Isso compara a string no campo 'second' com os primeiros N caracteres de 'first' onde N é o comprimento da segunda string. Se forem iguais, então 'primeiro' começa com 'segundo'.
4.2 adiciona suporte para $regex em expressões de agregação, mas começa com é muito mais simples e não precisa de expressões regulares.