Como contar a ocorrência de cada valor no array?

Você esqueceu as chaves na key valor e você precisa terminar essa linha com um , em vez de um ; .

db.issues.group({
    key: {"comments.username":true},
    initial: {sum:0},
    reduce: function(doc, prev) {prev.sum +=1},
});

ATUALIZAÇÃO

Depois de perceber os comments é um array...você precisaria usar aggregate para isso para que você possa 'descontrair' comments e então agrupe nele:

db.issues.aggregate(
    {$unwind: '$comments'},
    {$group: {_id: '$comments.username', sum: {$sum: 1}}}
);

Para o documento de amostra na pergunta, isso gera:

{
  "result": [
    {
      "_id": "Brandon Black",
      "sum": 1
    },
    {
      "_id": "Nelson Elhage",
      "sum": 3
    }
  ],
  "ok": 1
}