Com a estrutura de agregação, poderia parecer assim
db.getCollection('yourCollection').aggregate([
{
$unwind: '$arr'
},
{
$match: {
$or: [
{ 'arr.name': /world/i },
{ 'arr.description': /world/i }
]
}
},
{
$project: {
_id: '$arr._id',
name: '$arr.name',
description: '$arr.description'
}
}
])
que resultará na seguinte saída para seus dados de exemplo:
{
"_id" : 1,
"name" : "Random",
"description" : "Hello world"
}
{
"_id" : 2,
"name" : "World",
"description" : "This is a random description"
}
Se você precisar de um único array com os documentos resultantes, conforme mostrado em sua pergunta, você pode simplesmente encadear um
toArray() chamar no final do pipeline - lembre-se de que isso pode aumentar o consumo de memória no caso de grandes conjuntos de resultados, conforme apontado por SSDMS
nos comentários. 
