Spring Data MongoDB Lookup com Agregação de Pipeline

Com base nas informações fornecidas por @dnickless, consegui resolver isso. Vou postar a solução completa na esperança de que ajude alguém no futuro.

Estou usando o driver mongodb:3.6.4

Primeiro, tive que criar uma classe de operação de agregação personalizada para poder passar uma consulta JSON mongodb personalizada para ser usada na operação de agregação. Isso me permitirá usar pipeline dentro de um $lookup que não é compatível com a versão do driver que estou usando.

public class CustomProjectAggregationOperation implements AggregationOperation {
    private String jsonOperation;

    public CustomProjectAggregationOperation(String jsonOperation) {
        this.jsonOperation = jsonOperation;
    }

    @Override
    public Document toDocument(AggregationOperationContext aggregationOperationContext) {
        return aggregationOperationContext.getMappedObject(Document.parse(jsonOperation));
    }
}

Agora que temos a capacidade de passar uma consulta JSON personalizada para nossa implementação de mola do mongodb, tudo o que resta é conectar esses valores a uma consulta TypedAggregation.

public List<FulfillmentChannel> getFulfillmentChannels(
    String SOME_VARIABLE_STRING_1, 
    String SOME_VARIABLE_STRING_2) {

    AggregationOperation match = Aggregation.match(
            Criteria.where("dayOfWeek").is(SOME_VARIABLE_STRING_1));
    AggregationOperation match2 = Aggregation.match(
            Criteria.where("deliveryZipCodeTimings").ne(Collections.EMPTY_LIST));
    String query =
            "{ $lookup: { " +
                    "from: 'deliveryZipCodeTiming'," +
                    "let: { location_id: '$fulfillmentLocationId' }," +
                    "pipeline: [{" +
                    "$match: {$expr: {$and: [" +
                    "{ $eq: ['$fulfillmentLocationId', '$$location_id']}," +
                    "{ $eq: ['$zipCode', '" + SOME_VARIABLE_STRING_2 + "']}]}}}," +
                    "{ $project: { _id: 0, zipCode: 1, cutoffTime: 1 } }]," +
                    "as: 'deliveryZipCodeTimings'}}";

    TypedAggregation<FulfillmentChannel> aggregation = Aggregation.newAggregation(
            FulfillmentChannel.class,
            match,
            new CustomProjectAggregationOperation(query),
            match2
    );

    AggregationResults<FulfillmentChannel> results = 
        mongoTemplate.aggregate(aggregation, FulfillmentChannel.class);
    return results.getMappedResults();
}