MongoDB
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Contar elementos da matriz que correspondem à condição


Você precisa usar $filter agregação para filtrar o external origem e internal origin junto com o $size agregação para calcular o comprimento das matrizes.

Algo assim
db.collection.aggregate([
  { "$addFields": {
    "internalUsersCount": {
      "$size": {
        "$filter": {
          "input": "$participants",
          "as": "part",
          "cond": { "$eq": ["$$part.origin", "internal"]}
        }
      }
    },
    "externalUsersCount": {
      "$size": {
        "$filter": {
          "input": "$participants",
          "as": "part",
          "cond": { "$eq": ["$$part.origin", "external"] }
        }
      }
    }
  }}
])

Saída
[
  {
    "conferenceName": "myFirstConference",
    "endDate": 1535722420,
    "externalUsersCount": 1,
    "internalUsersCount": 1,
    "startDate": 1535722327
  }
]