Formatando a coluna de data no javaFX TableView para dados recuperados do banco de dados Oracle

Você simplesmente esqueceu de colocar IDs em suas colunas... Tem que ser assim:

<TableColumn fx:id="MRN" prefWidth="75.0" text="C1" />
<TableColumn fx:id="LASTNAME" prefWidth="75.0" text="C2" />

Sem eles seu campo MRN no método "initialize" permanece "null" pois o FXMLLoader não encontra um campo correspondente (por ID) no arquivo fxml. seu código, por exemplo, o TextField "mrn" e o TableColumn "MRN") realmente funciona, é bastante confuso.

Além disso, há problemas com seu modelo de dados e com seu método populateData:

Primeiro de tudo, seu TableView deve ser do tipo Person, não List:Person é o tipo de dados que sua Table armazenará. Consequentemente, as TableColumns devem ser declaradas como TableColumn
Segundo, você precisa decidir se deseja usar FXML ou código Java. Você já tem as colunas na tabela (via FXML), mas no seu método populateData você as limpa e tenta adicioná-las novamente. Se você conhece as colunas de antemão, use FXML e corte essa parte do seu método populateData

Terceiro, ao ler os resultados obtidos do banco de dados, você deve criar um objeto Person para cada linha e, em seguida, adicionar esse objeto à sua lista de dados. Algo assim:

        while (rs.next()) {                   
            Person p = new Person();
            p.setMRN(rs.getString(1));
            p.setLastName(rs.getString(2));
            Date x = rs.getDate(3);
            if (x != null) {
                p.setDateOfBirth(rs.getDate(3).toLocalDate());
            } else {
                p.setDateOfBirth(LocalDate.MIN);
            }
            data.add(p);
        }

Tente seguir seu código com um depurador, isso ajudará você a entender.

Quanto à formatação de data, sugiro usar um DateTimeFormatter:

DATEOFBIRTH.setCellValueFactory(new PropertyValueFactory<>("dateOfBirth"));
DATEOFBIRTH.setCellFactory(new PersonController.ColumnFormatter<>(DateTimeFormatter.ofPattern("MM/dd/yyyy")));

e modifique ColumnFormatter desta forma:

private class ColumnFormatter<S, T> implements Callback<TableColumn<S, T>, TableCell<S, T>> {

    private final DateTimeFormatter format;

    public ColumnFormatter(DateTimeFormatter format) {
        super();
        this.format = format;
    }

    @Override
    public TableCell<S, T> call(TableColumn<S, T> arg0) {
        return new TableCell<S, T>() {
            @Override
            protected void updateItem(T item, boolean empty) {
                super.updateItem(item, empty);
                if (item == null || empty) {
                    setGraphic(null);
                } else {
                    LocalDate ld = (LocalDate) item;
                    String val = ld.format(format);
                    setGraphic(new Label(val));
                }
            }
        };
    }
}