Obtendo buffer de saída de DBMS_OUTPUT.GET

O principal problema com seu código era que ele não estava definindo o tamanho do bind para cada elemento do seu buffer de saída. Também não estava indexando corretamente o buffer de saída ao recuperar os resultados. E, finalmente, a ordem de execução também desempenha um papel:primeiro você precisa habilitar sua saída antes de executar seu bloco de código anônimo. Cada alteração feita é comentada no seguinte MCVE . Foram feitas apenas as alterações necessárias para fazê-lo funcionar.

static void Main(string[] args)
{
    string str = "User Id=xxx; password=xxx; Data Source=localhost:1521/xxx;";
    string sql = @"DECLARE lvsName VARCHAR2(6) := 'Oracle'; BEGIN  DBMS_OUTPUT.PUT_LINE('Do you see me?'); DBMS_OUTPUT.PUT_LINE('My name is: ' || lvsName); END;";

    OracleConnection _connection = new OracleConnection(str);

    try
    {
        _connection.Open();

        //adapter not being used
        //using (OracleDataAdapter oda = new OracleDataAdapter())

        using (OracleCommand cmd = new OracleCommand(sql, _connection))
        {
            // First enable buffer output
            // Set output Buffer
            cmd.CommandText = "BEGIN DBMS_OUTPUT.ENABLE(NULL); END;";
            cmd.CommandType = CommandType.Text;
            cmd.ExecuteNonQuery();

            // Then execute anonymous block
            // Execute anonymous PL/SQL block
            cmd.CommandText = sql;
            cmd.CommandType = CommandType.Text;
            var res = cmd.ExecuteNonQuery();


            // Get output
            cmd.CommandText = "BEGIN DBMS_OUTPUT.GET_LINES(:outString, :numLines); END;";
            cmd.CommandType = CommandType.Text;

            cmd.Parameters.Clear();

            cmd.Parameters.Add(new OracleParameter("outString", OracleDbType.Varchar2, int.MaxValue, ParameterDirection.Output));
            cmd.Parameters["outString"].CollectionType = OracleCollectionType.PLSQLAssociativeArray;
            cmd.Parameters["outString"].Size = sql.Length;
            cmd.Parameters["outString"].ArrayBindSize = new int[sql.Length];

            // set bind size for each array element
            for (int i = 0; i < sql.Length; i++)
            {
                cmd.Parameters["outString"].ArrayBindSize[i] = 32000;
            }


            cmd.Parameters.Add(new OracleParameter("numLines", OracleDbType.Int32, ParameterDirection.InputOutput));
            cmd.Parameters["numLines"].Value = 10; // Get 10 lines
            cmd.ExecuteNonQuery();

            int numLines = Convert.ToInt32(cmd.Parameters["numLines"].Value.ToString());
            string outString = string.Empty;

            // Try to get more lines until there are zero left
            while (numLines > 0)
            {
                for (int i = 0; i < numLines; i++)
                {
                    // use proper indexing here
                    //OracleString s = (OracleString)cmd.Parameters["outString"].Value;
                    OracleString s = ((OracleString[])cmd.Parameters["outString"].Value)[i];
                    outString += s.ToString();

                    // add new line just for formatting
                    outString += "\r\n";
                }

                cmd.ExecuteNonQuery();
                numLines = Convert.ToInt32(cmd.Parameters["numLines"].Value.ToString());
            }

            Console.WriteLine(outString);
        }
    }
    catch (Exception ex)
    {
        Console.WriteLine(ex.ToString());
    }

    _connection.Close();
    _connection.Dispose();

    Console.WriteLine("Press RETURN to exit.");
    Console.ReadLine();
}

E o resultado de saída é:

Do you see me?
My name is: Oracle

Press RETURN to exit.

Obtendo buffer de saída de DBMS_OUTPUT.GET_LINES em C#