Usar "Segurança Integrada" significa fazer login no banco de dados com a identidade do usuário que está executando o processo. Quando você executa o servidor Web VS local, ele é executado como seu login. Mas no IIS, o processo de trabalho do servidor web é executado como uma conta de usuário predefinida. Sua identidade do processo de trabalho deve ter direitos ao SQL Server e ao banco de dados.

Verifique as propriedades do seu pool de aplicativos no IIS. Se você estiver executando como Serviço de Rede, por exemplo, vá para SQL e crie um novo usuário, digite Serviço de Rede como o nome de usuário do Windows e conceda a esse usuário direitos ao seu banco de dados.