Este formato indica uma conexão local:
.\SQLEXPRESS
De outro servidor, você precisará especificar um nome de servidor ou endereço IP, por exemplo:
192.168.1.205\SQLEXPRESS
YOURMACHINE\SQLEXPRESS
Você também precisará validar se a instância é SQL Server Express. De sua outra pergunta quase idêntica parece uma instância padrão.
Você também deve parar de usar essa técnica boba de instância de usuário / attachDbFilename. Anexe seu banco de dados à instância corretamente e, em seguida, faça referência ao nome do banco de dados lógico usando
Initial Catalog=aspnetdb;
em sua cadeia de conexão. Esse recurso de instância de usuário foi preterido por vários motivos, e esse é certamente um deles. É claro que pode haver outros problemas de rede que impedirão isso, por exemplo, se o servidor estiver em um domínio diferente, há configurações de firewall interferindo, etc. Mas seu outro servidor nunca poderá acessar sua máquina usando um ponto para o nome do servidor.
EDITAR dando passos de bebê porque obviamente meu conselho não está sendo seguido. Supondo que você tenha realmente anexado o banco de dados aspnetdb no novo servidor, tente isto por favor:
connectionString="data source=192.168.85.124\SQLEXPRESS;
Integrated Security=SSPI;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Se você não estiver usando a instância nomeada do SQL Express, tente:
connectionString="data source=192.168.85.124;
Integrated Security=SSPI;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Para autenticação SQL, use o mesmo nome de usuário/senha que você usa no Management Studio:
connectionString="data source=192.168.85.124;
User ID=username; Password=password;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Esta é a solução de problemas 101 coisas. Se você ainda não conseguir fazer isso funcionar, talvez seja necessário contratar um consultor por 10 minutos para consertá-lo, pois é impossível descobrir o que você fez e por que não consegue fazê-lo funcionar.