Opção 1:
Crie uma tabela temporária intermediária com todas as colunas que sp retorna e faça isso:
INSERT INTO Temp
Exec [Test_Sp] 23;
Então
INSERT INTO @testTbl(Name,Age)
select name,age from temp
Opção 2:
Modifique seu sproc e adicione mais um parâmetro de tipo de dados de bit @limitedcolumnIf @limitedcolumn=true o retorno apenas as colunas necessárias, caso contrário, retorne todas as colunas
INSERT INTO @testTbl(Name,Age) EXEC [Test_Sp] 23,true;
