Como se conectar ao banco de dados SQL Server do JavaScript no navegador?

Você não deve usar o cliente javascript para acessar bancos de dados por vários motivos (má prática, problemas de segurança, etc), mas se você realmente quiser fazer isso, aqui está um exemplo:

var connection = new ActiveXObject("ADODB.Connection") ;

var connectionstring="Data Source=<server>;Initial Catalog=<catalog>;User ID=<user>;Password=<password>;Provider=SQLOLEDB";

connection.Open(connectionstring);
var rs = new ActiveXObject("ADODB.Recordset");

rs.Open("SELECT * FROM table", connection);
rs.MoveFirst
while(!rs.eof)
{
   document.write(rs.fields(1));
   rs.movenext;
}

rs.close;
connection.close;

Uma maneira melhor de se conectar a um servidor sql seria usar alguma linguagem do lado do servidor como PHP, Java, .NET, entre outras. O javascript do cliente deve ser usado apenas para as interfaces.

E há rumores de uma antiga lenda sobre a existência de javascript de servidor, mas isso é outra história.;)