Na forma mais simples, você usaria o
LIKE comparação:SELECT * FROM table WHERE name LIKE '%smith%';
Pesquisas mais elaboradas podem ser feitas com o índice FULLTEXT (grandes quantidades de texto),
SOUNDEX() (funciona em palavras no idioma inglês, correspondência em outros idiomas é tudo, desde 'um pouco viável' a 'terrível'), levenshtein distância das palavras etc. 
