Como atualizar o MySQL com PHP e AJAX sem atualizar a página

Ajax no jQuery funciona assim:

var myData=1;
$.ajax({
    type:'POST',//type of ajax
    url:'mypage.php',//where the request is going
    data:myData,//the variable you want to send
    beforeSend:function(xhr){//as a standard, I add this to validate stuff
        if(someThingWrong===true)xhr.abort//aborts xhttpRequest
   },
   success:function(result){
       //result is your result from the xhttpRequest.
   }
});

Isso não atualizará sua página, mas enviará um 'POST' para o URL especificado. Na página especificada, você deseja fazer o que quiser e dizer retornar um resultado. No meu exemplo vou fazer algo simples:

if($_POST['myData']===1)return True;

Esse é o básico de uma solicitação AJAX usando jQuery.

EDITAR!

iniciando um script AJAX:Eu sou apenas um palpite, pois não conheço seus elementos dentro de seu html nem seus scripts! Então você terá que fazer ajustes!

$('button.dislike').click(function(){
    $.ajax({
        type:'POST',
        url:'disliked.php',
        data:{dislike:$(this).attr('id')},
        success:function(result){
            $(this).prev('span').append(result);
        }
    });
 });

PHP:não use mysql, agora está depreciado e é considerado má prática, também não sei por que está usando sprintf na consulta? :S

$DBH=new mysqli('location','username','password','database');
$get=$DBH->prepare("SELECT dislike FROM random WHERE ids=?");
$get->bind_param('i',$_POST['dislike']);
$get->execute();
$get->bind_result($count);
$get->close();
$update=$DBH->prepare('UPDATE random SET dislike=? WHERE ids=?');
$update->bind_param('ii',++$count,$_POST['dislike']);//if you get an error here, reverse the operator to $count++.
$update->execute();
$update->close();
return String $count++;

Isso só funcionará se houver em seu HTML uma série de botões com IDs correspondentes aos do seu banco de dados. Então

$get=$DBH->prepare('SELECT ids FROM random');
$get->execute();
$get->bind_result($ids);
while($get->fetch()){
    echo"<button class='dislike' id='".$ids."'>Dislike this?</button>";
}

Espero que você tenha uma ideia geral de como estou gerenciando seu sistema de botões de antipatia XD lol