Então, basicamente, algo como o seguinte deve funcionar:
DB::table('departments')
->join('users','users.dept_id','=','departments.id')
->join('absences','users.id','=','absences.user_id')
->select('departments.id','departments.deptStringName', DB::raw("COUNT(*)"))
->groupBy('departments.id','departments.deptStringName')
->get();
Nota:Ao agrupar por você deve agrupar pelos valores únicos da linha (por exemplo, o identificador). Se os nomes dos seus departamentos forem exclusivos, você poderá omitir completamente a seleção e o agrupamento por departamento.id.
