A melhor maneira de produzir isso seria canalizar os dados para um arquivo. Por exemplo:
mysql -u root -e "SHOW DATABASES" > my_outfile.txt
A resposta de @ Velko é uma boa resposta, mas somente se você puder acessar o sistema de arquivos do servidor. Se o servidor estiver em um sistema diferente do cliente, a tubulação será a única maneira de obter o arquivo no sistema cliente local.
