Como não exibir certas partes da tabela do meu banco de dados?

Em seu loop, você precisaria colocar alguma instrução condicional para quebrar o comportamento padrão.

while($objResult = mysql_fetch_array($objQuery))
{
    if(($intRows)%4==0)
    {
        echo"<tr>"; // You forgot this.
    }

    echo "<td>";
    $intRows++;
    if ($intRows == 3 || $intRows == 4) : 
?>
    <!-- special cells -->
<?
    else:
?>
    <center>
        <img src="https://s3.amazonaws.com/thumbnails/<?=$objResult["Picture"];?>" height="190" width="190" /></a><br>
        <?=$objResult["albumName"];?>
        <br>
    </center>
<?php
    endif;

    echo"</td>";
    if(($intRows)%4==0)
    {
        echo"</tr>";
    }
}
// You also need this part:
echo ($intRows %4 > 0 ? "</tr>" : "") . "</table>";