Como escrever onde entre a consulta no yii2

Pode ser um problema relacionado à conversão da entrada, tente usar um str_to_date e literal Where (use uma conversão de formato de data adequada com base no seu formato, minha amostra é "%d-%m-%Y")

$modelStockDetails=StockDetails::find()
  ->where(' date(created) between STR_TO_DATE("'.  $start_date . '", "%d-%m-%Y" ) 
        AND   STR_TO_DATE("' .  $end_date . '", "%d-%m-%Y" )' )
  ->andwhere(['receiving_order_id' =>$modelRecevingOrder->id,'deleted' => 'N'])->all();

ou para evitar o uso de var no sql você pode usar

$modelStockDetails=StockDetails::find()
->where(' date(created) between STR_TO_DATE(:start_date, "%d-%m-%Y" ) 
      AND   STR_TO_DATE( :end_date, "%d-%m-%Y" )', [':start_date' => $start_date, ':end_date' => $end_date] )
->andwhere(['receiving_order_id' =>$modelRecevingOrder->id,'deleted' => 'N'])->all();