RESOLVIDO
Tudo o que eu precisava era adicionar nomes de tabela e coluna em minhas funções de modelos assim:
public function submores()
{
return $this->belongsToMany(Submore::class, 'product_mores', 'product_id', 'submore_id');
}
E também altere minha função salvar de
mores para submores igual a:$product->submores()->sync($request->submores, false);
Em seguida, altere o
name e for no meu formulário para submores <label for="submores">Attributes</label>
<select class="tagsselector form-control" name="submores[]" multiple="multiple">
//// rest of the code...
