Como passar o nome de uma entrada através da solicitação GET em PHP

Não há <form> encapsulando a entrada elementos. Além disso, você usa um <input type="submit" ... > elemento em vez da marca âncora para enviar os dados inseridos pelo usuário para itemedit.php página. Então mude seu for loop da seguinte maneira,

for($i=1;$i<=$menuSet->GetMenuItems();$i++){ 
    $func = "GetMenuLink".$i;
    ?>
        <tr>
            <form action="itemedit.php?i=<?php echo $i; ?>" method="post">
        <td>$i</td>
        <td><input type='text' name='e' value='<?php echo $menuSet->$func(); ?>'/></td>
        <td>
            <input type='submit' value='Edit' class='glyphicon glyphicon-pencil' />&nbsp; 
            </form>
            <a title='Remove' href='itemdelete.php?i=<?php echo $i; ?>'><span class='glyphicon glyphicon-remove'></span></a>
        </td>
        </tr>
    <?php
}

E em itemedit.php página, processe os dados enviados do seu formulário da seguinte maneira,

if (isset($_GET['i'])){
    $i = $_GET['i'];
    $e = $_POST['e'];
    $editItem = new Menus();
    // update the menu items
    $editItem->EditMenuItem($i,$e);
    ...

Atualização(1):

Sua instrução preparada e bindParam() chamada de método também está errada. Esses devem ficar assim:

$adm = $this->db->prepare("UPDATE menu_nav SET menu_link_$i = ?");
$adm->bindParam(1, $e, PDO::PARAM_STR);