Mysql...Consulta impossível?

Não é impossível, apenas complicado. Você pode usar STR_TO_DATE para converter suas strings em DATETIME objetos, dos quais você pode usar MONTH para obter o número do mês. Observe (como @DRapp comentou) que você deve armazenar DATETIME valores em sua forma nativa, não como VARCHAR , você não precisaria lidar com STR_TO_DATE . Tendo obtido o número do mês, você pode usar a agregação condicional para obter os resultados desejados:

SELECT name,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 1 THEN PTS END), 0) AS Jan,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 2 THEN PTS END), 0) AS Feb,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 3 THEN PTS END), 0) AS Mar,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 4 THEN PTS END), 0) AS Apr,
       -- repeat for May to November
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 12 THEN PTS END), 0) AS `Dec`,
       AVG(PTS) AS AVG
FROM (
  SELECT name, PTS AS PTS, MONTH(STR_TO_DATE(DATE, '%a %b %e %H:%i:%s %Y')) AS mth
  FROM data
) d
GROUP BY name

Saída (para seus dados de amostra):

name    Jan     Feb     Mar     Apr     Dec     AVG
Chris   0       4       0       2       0       3
John    0       0       0       2.6667  0       2.6667

Demonstração no SQLFiddle