Por que essa consulta não funciona no SQLite, mas funciona bem no MySQL e no MSAccess?

No SQLite, você obtém uma coluna de autoincremento usando INTEGER PRIMARY KEY .(E se você confiar nos valores reais de payers.id na consulta, você deve fornecê-los explicitamente.)

Você não deve tentar aninhar junções quando não for necessário:

SELECT payer_payment.payer_id,
       Sum(payer_payment.amount)                             AS total_paid,
       Sum(payer_payment.pays * payments_share.single_share) AS fair_share
FROM       payers
INNER JOIN payer_payment
        ON payers.id = payer_payment.payer_id
INNER JOIN (SELECT payment_id,
                   Sum(amount) / Sum(pays) AS single_share
            FROM   payer_payment
            GROUP  BY payment_id) AS payments_share
        ON payer_payment.payment_id = payments_share.payment_id
WHERE payers.user_id = 1
GROUP BY payer_payment.payer_id;

SQLFiddle