Resultado da exportação do módulo de fn assíncrono

Você pode fazer com que a exportação seja a Promise retornada pelo createConnection ligar. Observe também que no ES6, você pode usar nomes de propriedade abreviados para concisão e legibilidade:

const mysql = require('promise-mysql');
module.exports = mysql.createConnection({
    host,
    user,
    password,
    database
});

Em seguida, os usuários podem usá-lo chamando .then na Promessa, por exemplo:

const connectionProm = require('script.js');
connectionProm.then((connection) => {
  // do stuff with connection
});

Se você não gosta de chamar .then em todos os lugares em que a conexão está sendo usada, uma alternativa seria usar injeção de dependência para passar a conexão como argumentos, para que o .then da conexão só precisa existir no ponto de entrada do script.

// index.js
connectionProm.then((connection) => {
  // do stuff with connection
  // pass it around as needed
});

// do NOT import or call connectionProm.then anywhere else