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Como transpor linhas para colunas com base em intervalos de tempo no MYSQL


Um método usa lag() :
select t.*
from (select t.*,
             lag(status) over (partition by val, name order by date) as prev_status
      from t
     ) t
where status = 'open' and
      (prev_status is null or prev_status <> 'open');

Isso pode retornar mais de um resultado para um teste, se o status puder "retornar" para 'open' . Você pode usar row_number() se você não quiser esse comportamento:
select t.*
from (select t.*,
             row_number() over (partition by val, name, status order by date) as seqnum
      from t
     ) t
where status = 'open' and seqnum = 1;

EDITAR:

(para dados ajustados)

Você pode simplesmente usar a agregação condicional:
select val, name,
       min(case when status = 'open' then status end) as o_gate,
       min(case when status = 'open' then dt end) as o_dt,
       max(case when status = 'close' then status end) as c_gate,
       max(case when status = 'close' then dt end) as c_dt,
from t
group by val, name;

Aqui é um db<>fiddle

Se você deseja reconstruir o id , você pode usar uma expressão como:
row_number() over (order by min(dt)) as id