Em primeiro lugar, você pode querer renomear as funções em seus modelos no plural, pois não tem uma, mas muitas do relacionamento.
Então, no seu modelo de usuário, adicione isso:
public function kids()
{
return $this->belongsToMany(Kid::class);
}
E no seu modelo Kid:
public function users()
{
return $this->belongsToMany(User::class);
}
Então para salvar na tabela dinâmica já que a nomenclatura da sua tabela está correta, basta fazer:
$user->kids()->attach($kid);
Vai salvá-lo corretamente na tabela dinâmica. Certificando-se primeiro de que você possui User e Kid para as variáveis. Mais detalhes aqui
