Isso depende totalmente do tipo de seu site. Se você estiver construindo um projeto pequeno apenas com a interface web, fique com suas chamadas mysql.

Se você estiver fazendo um site que deve crescer e servir mais de um serviço, por exemplo, um aplicativo Android/iPhone já está planejado, construa a API e deixe os dois aplicativos usá-la. As APIs são ótimas para escalabilidade e atendem a muitos clientes. No entanto, para uma representação na Web, por exemplo. para o dentista local, é simplesmente uma sobrecarga.