OK! Então parece que consegui fazer funcionar.
Um pouco mais de pesquisa e encontrei este site:Veja o site
Basicamente, ele me disse qual caminho seguir para executar o
mysqldump no Dbs no meu servidor Wamp e tudo saiu conforme o esperado. Meu caso é bastante específico e talvez muitas pessoas não compartilhem dessa necessidade, mas esse é o resultado:
exec('C:\wamp\bin\mysql\mysql5.6.12\bin\mysqldump --user='.$_SESSION['user'].' --password='.$_SESSION['password'].' --host=localhost myDatabase > C:\Users\Xavier\Dropbox\db_backups\file.sql');
A propósito, muito obrigado a @MarcB e @mb14 por tentar me ajudar e postar seus comentários abaixo!
